% ----------------------------------------------------------------

\section{Definitionen I}
\subsection{}

\begin{frame} {Definitionen}
\begin{Bezeichner}
$N = $ Menge der Bieter

$M = \left\{ id_1, id_2,..., id_m \right\}, m \in \mathbb{N}, ($Menge der Bezeichner$)$

$\phi : N \rightarrow 2^M \backslash \left\{\emptyset\right\}$

$\phi (i) =$ Menge der Bezeichner, die Bieter $i$ benutzen kann; für $i \ne j \Rightarrow \phi (i) \cap \phi (j) = \emptyset$

$ T: \Theta \times (2^M \backslash \{\emptyset\})$ (Gebote/Signale)
\end{Bezeichner}

\pause

\begin{Strategie}
$ s: T \rightarrow (\Theta \cup \{ \emptyset \} )^M$

$ s(\theta_i,\phi(i)) \in (\Theta \cup \{\emptyset\})^{|\phi(i)|}$
% Eine Strategie beschreibt, wie die Bieter ihre Gebote aufstellen und evtl. auf verschiedene Identitäten verteilen.

\end{Strategie}
\end{frame}

% ----------------------------------------------------------------

\begin{frame}{Definitionen}
\begin{dominantStrategie}
Eine Strategie ist dominant, wenn es sich nicht lohnt von ihr abzuweichen.  
\end{dominantStrategie}

\pause

\begin{falseNameProof}
$ s^*(\theta_i,\phi(i))= (\theta_i, 0, ..., 0) $ist dominate Strategie 

(Eine falsche Identität zu benutzen bringt keinen Vorteil.) 
\end{falseNameProof}
\end{frame}

% ----------------------------------------------------------------

\section{Proposition I}
\subsection{Behauptung}
\begin{frame}{Behauptung}
False-Name Bid = Gebot unter falscher Identität

kombinatorische Auktion = mehrere Güter werden gleichzeitig verkauft und Preise sind abhängig voneinander.

$P := $ Menge aller kombinatorischen Auktionsprotokolle

$F := $ False-Name-Proof sein

$PE:= $ Pareto-Effizient sein
												 
\begin{Prop1}
$\forall x \in P :[\neg \left( F \land PE \right) ]$
\end{Prop1}

\end{frame}

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